Matrizes De Média Móvel Para A Volatilidade E Correlação E Covariância

Um modelo de covariância que evolui no tempo pode ser aplicado a muitas séries temporais multivariadas, incluindo a análise de volatilidade em finanças 4 e a atividade de EEG na neurologia. 5. Métodos populares para estimar suavemente Variando matrizes de covariância incluem a média móvel exponencialmente ponderada (EWMA) modelo 25 e multivariada generalizada autorregressiva condicional heterocedasticidade (GARCH) modelos 26. O primeiro capta as tendências suavemente variando, mas não lida com dados em falta, e exige longas séries para alcançar alta precisão estimativa RESUMO: A redução da dimensionalidade na análise de séries temporais multivariadas tem amplas aplicações, desde a análise de dados financeiros até a pesquisa biomédica. No entanto, níveis elevados de ruído ambiente e várias interferências resultam em sinais não estacionários, o que pode levar a um desempenho ineficiente dos métodos convencionais. Neste artigo, propomos uma estrutura de redução de dimensionalidade não linear usando mapas de difusão em um manifesto coletivo estatístico, o que dá origem à construção de uma representação de baixa dimensão das séries temporais não-estacionárias de alta dimensão. Mostramos que mapas de difusão, com núcleos de afinidade baseados na divergência de Kullback-Leibler entre as estatísticas locais das amostras, permitem uma aproximação eficiente das distâncias geodésicas em pares. Para construir o múltiplo estatístico, estimamos as distribuições paramétricas evoluindo no tempo projetando uma família de modelos geradores bayesianos. O quadro proposto pode ser aplicado a problemas em que as distribuições em evolução temporal (de dados temporalmente localizados), em vez das próprias amostras, são conduzidas por um processo subjacente de baixa dimensão. Oferecemos metodologias eficientes de estimação de parâmetros e redução de dimensionalidade, aplicando-os a duas aplicações: análise de música e previsão epiléptica-convulsiva. Para calcular a correlação de EWMA, a covariância é dividida pela raiz quadrada do produto das duas estimativas de variância de EWMA (Alexander, 2008). Este artigo analisa se os mercados de ações da Europa do Sudeste (SEE) se tornaram mais integrados aos mercados de ações regionais e globais durante os anos 2000. Usando uma variedade de metodologias de co-integração, mostramos que os mercados de ações SEE não têm um relacionamento de longo prazo com suas contrapartes maduras. Isto significa que os mercados SEE podem ser imunizados a choques externos. Também modelamos as correlações variáveis ​​no tempo entre esses mercados usando modelos de Heteroschedastic Condicional Autoregressivo Generalizado (MGARCH) Multivariados, bem como a metodologia de Média Móvel Ponderada Exponencial (EWMA). Os resultados mostram que as correlações dos mercados de ações do Reino Unido e dos EUA com o mercado da Europa do Sudeste mudam ao longo do tempo. Essas mudanças nas correlações entre os mercados de referência e os pares de mercado SEE individuais não são uniformes, embora a evidência da crescente convergência entre a Europa do Sudeste eo mercado de ações desenvolvido seja evidente. Também examinamos neste trabalho se a estrutura das correlações entre retornos de índices em diferentes mercados mudou em diferentes fases da crise financeira global 2007-2009. Em geral, nossos resultados mostram que os benefícios de diversificação ainda são possíveis para os investidores que desejam diversificar sua carteira entre mercados de ações emergentes e desenvolvidos. Os analistas de renda fixa estão acostumados a monitorar alguns rendimentos de referência em uma base contínua e fornecendo estimativas pontuais para esses rendimentos ou para uma combinação deles. No entanto, a otimização de carteiras de renda fixa exige uma previsão precisa não apenas de alguns rendimentos de referência, mas de curvas de rendimento completas. Este capítulo deriva uma previsão de uma ou mais curvas de rendimento que é consistente com os pontos de vista dos analistas. O modelo é baseado em uma nova aplicação de análise de componentes principais (PCA). Ele pode ser estendido para outros mercados e não tem restrições quanto ao número de variáveis ​​de previsão, ou o número de visualizações. Consideramos exemplos de previsão simultânea ou não das curvas de rendimento das obrigações de dívida pública dos EUA, da Zona Euro e do Reino Unido. Capítulo Jan 2010 Revista Eletrônica SSRN Leonardo M. NogueiraMovendo Modelos Médios de Volatilidade e Correlação e Matrizes de Covariância Transcrição 1 JWPR0-Fabozzi c-cc Novembro, 00. Au: o termo não aparece no texto 0 CAPÍTULO CC Modelos de Média Móvel para Volatilidade e Correlação , E Matrizes de Covariância CAROL ALEXANDER, PhD Presidente de Gestão de Risco e Diretor de Pesquisa, Centro ICMA, Escola de Negócios, Universidade de Leitura Propriedades Básicas de Covariância e Matrizes de Correlação Metodologias Equivalentes Metodologia Estatística Intervalos de Confiança para Variância e Volatilidade Estimativas médias Metodologia de covariância com média ponderada igualitária Estudo de caso: medindo a volatilidade ea correlação da decisão do Tesouro dos EUA. Quanto tempo deve ser usado um período de dados históricos Armadilhas do método da média móvel igualmente ponderada usando médias móveis igualmente ponderadas 0 Médias móveis ponderadas exponencialmente Metodologia estatística Interpretação de lambda Propriedades das estimativas O modelo de previsão EWMA Erros padrão para previsões EWMA Resumo da metodologia RiskMetrics TM As volatilidades e correlações dos retornos sobre um conjunto de ativos, fatores de risco ou taxas de juros são resumidas em uma matriz de covariância. Essa matriz está no cerne da análise de risco e retorno. Contém todas as informações necessárias para estimar a volatilidade de uma carteira, simular valores correlacionados de seus fatores de risco, diversificar investimentos e obter portfólios eficientes que tenham o trade-off ótimo entre risco e retorno. Tanto os gerentes de risco quanto os gestores de ativos precisam de matrizes de covariância que podem incluir muitos ativos ou fatores de risco. Por exemplo, num sistema global de gestão de risco de um grande banco internacional, todas as principais curvas de rendimento, índices de acções, taxas de câmbio e preços das matérias-primas serão abrangidas numa matriz de covariância dimensional muito grande. Palavras-chave: volatilidade, correlação, covariância, matriz, média móvel igualmente ponderada, média móvel ponderada exponencialmente EWMA), constante de alisamento, RiskMetrics, erro padrão da previsão de volatilidade As variâncias e covariâncias são parâmetros da distribuição conjunta do ativo ou do fator de risco. É importante entender que eles são inobserváveis. Eles só podem ser estimados ou previstos dentro do contexto de um modelo. Modelos de tempo contínuo, usados ​​para o preço de opção, são freqüentemente baseados em processos estocásticos para a variância e covariância. Os modelos de tempo discreto, usados ​​para medir o risco de carteira, são baseados em modelos de séries temporais de variância e covariância. Em cada caso, só podemos estimar ou prever variação e covariância dentro do contexto de um modelo assumido. Deve-se enfatizar que não existe uma variância verdadeira absoluta ou covariância. O que é verdadeiro depende somente do modelo estatístico. Mesmo se soubéssemos com certeza que nosso modelo era uma representação correta do processo de geração de dados, nunca poderíamos medir os verdadeiros parâmetros de variância e covariância exatamente porque a variância ea covariância puras não são negociadas no mercado. Uma exceção a isso são os futuros sobre os índices de volatilidade, como o Índice de Volatilidade de Câmbio das Câmaras de Chicago, índice VIX). Page 2 2 JWPR0-Fabozzi c-cc. Assim, observa-se alguma volatilidade neutra em relação ao risco. No entanto, este capítulo trata de matrizes de covariância na medida física. A estimativa de uma variância de acordo com as fórmulas dadas por um modelo, utilizando dados históricos, dá uma variância observada que é realizada pelo processo assumido em nosso modelo. Mas essa variação realizada ainda é apenas uma estimativa. As estimativas das amostras estão sempre sujeitas a erros de amostragem, o que significa que o seu valor depende dos dados da amostra utilizados. Em resumo, diferentes modelos estatísticos podem dar diferentes estimativas de variância e covariância por duas razões: Uma verdadeira variância ou covariância) é diferente entre os modelos. Como resultado, existe um considerável grau de risco de modelo inerente à construção de uma matriz de covariância ou correlação. Ou seja, resultados muito diferentes podem ser obtidos usando dois modelos estatísticos diferentes, mesmo quando eles são baseados exatamente nos mesmos dados. As estimativas das variâncias e covariâncias verdadeiras estão sujeitas a erros de amostragem. Ou seja, mesmo quando usamos o mesmo modelo para estimar uma variância, nossas estimativas serão diferentes dependendo dos dados utilizados. Tanto a alteração do período de amostragem como a alteração da freqüência das observações afetarão a estimativa da matriz de covariância. Este capítulo abrange a média móvel de modelos discretos de séries temporais para variância e covariância, focando na implementação prática da abordagem e fornecendo uma explicação para suas vantagens e limitações. Outras ferramentas estatísticas são descritas em Alexander 00, Capítulo. PROPRIEDADES BÁSICAS DE COVARÊNCIA E 0 MATRIZES DE CORRELAÇÃO A matriz de covariância é uma matriz quadrática, simétrica de variância e covariâncias de um conjunto de m retornos de ativos ou de fatores de risco, dadas por: sigma sigma sigma sigma sigma Sigma Sigma Sigma . Sigma m CC) sigma sigma Sigma Sigma sigma sigma sigma sigma sigma sigma sigma sigma. Sigma sigma sigma sigma sigma sigma sigma sigma sigma sigma sigma sigma Sigma sigma sigma sigma sigma sigma sigma. M sigma sigma m m sigma m sigma sigmam uma matriz de covariância também pode ser expressa como V DCD CC) onde D é uma matriz diagonal com elementos iguais aos desvios padrão dos retornos ec é a matriz de correlação dos retornos. Isso é sigma sigma. Sigma sigma sigma sigma. Sigma m 0 sigma sigma m sigma m. Sigmam 0. 0 sigma n. N sigma. N 0 sigma n n. 0. 0 sigma n Assim, a matriz de covariância é simplesmente uma maneira matematicamente conveniente de expressar as volatilidades dos ativos e suas correlações. Para ilustrar como estimar uma matriz de covariância anual e uma matriz de covariância de 0 dias, assuma três ativos que têm as seguintes volatilidades e correlações: Volatilidade do ativo 0 Ativo Ativo A correlação 0. A volatilidade do ativo 0 Ativo Atividade A correlação 0 Dessa forma, a matriz de covariância anual DCD é: Para encontrar uma matriz de covariância de 0 dias neste caso simples, é forçado a assumir que os retornos são independentes e identicamente distribuídos para usar a raiz quadrada da regra de tempo: isto é , Que a matriz de covariância de h-dia é h vezes a matriz de covariância diária. Dito de outra forma, a matriz de co-variância de 0 dias é obtida a partir da matriz anual dividindo cada elemento por, assumindo que há dias de negociação por ano. Alternativamente, podemos obter a matriz de 0 dias usando as volatilidades de 0 dia em D. Note que sob a hipótese de retorno independente e identicamente distribuída C não deve ser afetada pelo período de retenção. Ou seja, D C 3 JWPR0-Fabozzi c-cc novembro de 00. POR FAVOR FORNECER O TÍTULO DA PARTE porque cada volatilidade é dividida pela raiz quadrada de). Então obtemos o mesmo resultado como acima, isto é, Note que V é positivo semidefinido se e somente se C for semidefinito positivo. D é sempre positivo definido. Assim, a semidefinidade positiva de V depende apenas da forma como construímos a matriz de correlação. É um grande desafio gerar matrizes de correlação semidefinidas significativas e positivas, que são suficientemente grandes para que os gerentes possam avaliar os riscos em todas as posições de uma empresa. Simplificar suposições são necessárias. Por exemplo RiskMetrics) usa uma metodologia muito simples baseada em médias móveis, a fim de estimar matrizes definidas positivas extremamente grandes cobrindo centenas de fatores de risco para mercados financeiros globais. Isto é discutido mais adiante). MÉDIOS PONDERADOS IGUALMENTE Esta seção descreve como a volatilidade ea correlação são estimadas e previstas aplicando pesos iguais a certos dados históricos de séries temporais. Descrevemos uma série de armadilhas e limitações dessa abordagem e, como resultado, recomendamos que esses modelos sejam usados ​​como uma indicação do intervalo possível para a volatilidade e correlação de longo prazo. Como veremos, esses modelos são de validade duvidosa para a volatilidade de curto prazo ea previsão de correlação. A seguir, por simplicidade, assumimos que o retorno médio é zero e que os retornos são medidos na freqüência diária, a menos que especificamente indicado o contrário. Um retorno médio zero é uma suposição padrão para avaliações de risco com base em séries temporais de dados diários, mas se os retornos são medidos em intervalos mais longos, pode não ser muito realista. Em seguida, a estimativa igualmente ponderada da variância de retornos é a média dos retornos quadrados ea estimativa de volatilidade correspondente é a raiz quadrada desta expressa como uma percentagem anual. A estimativa igualmente ponderada da covariância de dois retornos é a média dos produtos cruzados de retornos ea estimativa igualmente ponderada de sua correlação é a relação entre a covariância e a raiz quadrada do produto das duas variâncias. A ponderação igual de dados históricos foi o primeiro método estatístico amplamente aceito para previsão da volatilidade e correlação dos retornos dos ativos financeiros. Durante muitos anos, foi o padrão do mercado prever a volatilidade média nos próximos dias h, tomando uma média igualmente ponderada de retornos quadrados nos últimos dias. Este método foi chamado de previsão de volatilidade histórica. Hoje em dia, muitas técnicas diferentes de previsão estatística podem ser aplicadas a dados de séries temporais históricas, por isso é confuso chamar este método igualmente ponderado do método histórico. No entanto, esta terminologia bastante confusa permanece padrão. As mudanças percebidas na volatilidade e correlação têm conseqüências importantes para todos os tipos de decisões de gerenciamento de risco, seja com relação à capitalização, alocação de recursos ou estratégias de hedge. Na verdade, são esses parâmetros das distribuições de retornos que são os blocos fundamentais dos modelos de avaliação de risco de mercado. Portanto, é essencial entender que tipo de variabilidade nos retornos o modelo tem medido. O modelo assume que um processo independente e identicamente distribuído gera retornos. Isto é, tanto a volatilidade como a correlação são constantes ea regra da raiz quadrada do tempo se aplica. Esta suposição tem ramificações importantes e teremos o cuidado de explicar isso com muito cuidado. Metodologia Estatística A metodologia para construir uma matriz de covariância baseada em médias igualmente ponderadas pode ser descrita em termos muito simples. Considere um conjunto de séries temporais i. Mt. T. Aqui, o índice i denota o ativo ou fator de risco, e t denota o momento em que cada retorno é medido. Vamos supor que cada retorno tem uma média zero. Em seguida, uma estimativa imparcial da variância incondicional do i-ésimo retorna a variável no tempo t, com base nos retornos diários mais recentes de T como: circsigma i, t T ri, tll T CC). O termo estimador não tendencioso significa o valor esperado do estimador É igual ao valor verdadeiro. Observe que CC) fornece uma estimativa imparcial da variância, mas isso não é o mesmo que o quadrado de uma estimativa não desviada do desvio padrão. Isto é, E circsigma) sigma mas E circsigma) sigma. Então, realmente o chapéu circ deve ser escrito sobre o conjunto de sigma. Mas é geralmente entendido que a notação circsigma é usada para denotar a estimativa ou previsão de uma variância, e não o quadrado de uma estimativa do desvio padrão. Assim, no caso em que o retorno médio é zero, temos E circsigma) sigma. Se o retorno médio não é assumido como zero, precisamos estimar isso a partir da amostra, o que coloca uma restrição linear na variância estimada a partir dos dados da amostra. Nesse caso, para obter uma estimativa imparcial, devemos usar T) ri, t l r i l si, t CC.) T onde r i é o rendimento médio da i-ésima série, tomado em toda a amostra de pontos de dados T. A forma de desvio médio acima pode ser útil para estimar a variância usando dados mensais ou mesmo semanais durante um período para o qual os retornos médios são significativamente diferentes de zero. No entanto, com os dados diários, o retorno médio é geralmente muito pequeno e, como veremos adiante, os erros induzidos por outras suposições são enormes em relação ao erro induzido. 4 JWPR0-Fabozzi c-cc Novembro, 00. Modelos de média móvel para volatilidade e Correlação e Matrizes de Covariância assumindo que a média é zero, usamos normalmente a forma CC.). Da mesma forma, uma estimativa imparcial da covariância incondicional de dois retornos médios zero no tempo t, com base nos retornos diários mais recentes de T é: circsigma i, j, tnri, tlrj, tll T CC). Como mencionado acima, normalmente ignoraríamos O desvio médio com dados diários. A estimativa da matriz de covariância incondicional igualmente ponderada no momento t para um conjunto de k retornos é, portanto, circV t circsigma i, j, t) para i, j. K. Falando francamente, o termo incondicional refere-se ao fato de que é a variância geral ou de longo prazo ou média que estamos estimando, ao contrário de uma variância condicional que pode mudar de dia para dia e é sensível a eventos recentes. Como mencionado na introdução, usamos o termo volatilidade para referir o desvio padrão anualizado. As estimativas igualmente ponderadas de volatilidade e correlação são obtidas em duas etapas. Primeiro, obtém-se uma estimativa imparcial da matriz de covariância incondicional usando médias igualmente ponderadas de retornos quadrados e produtos cruzados de retornos e o mesmo número n de pontos de dados de cada vez. Em seguida, estes são convertidos em estimativas de volatilidade e correlação, aplicando as fórmulas habituais. Por exemplo, se os retornos são medidos na freqüência diária e há dias de negociação por ano: Volatilidade igualmente ponderada circsigma t Correlação igualmente ponderada circ ij, t circsigma ij, t circsigma i, t circsigma j, t CC). Ponderada, a matriz de covariância prevista é simplesmente considerada a estimativa atual, não havendo nada mais no modelo para distinguir uma estimativa de uma previsão. O horizonte de risco original para a matriz de covariância é dado pela freqüência dos dados que os retornos diários irão fornecer a previsão da matriz de covariância do dia, os retornos semanais fornecerão a previsão da matriz de covariância do dia e assim por diante. Então, como o modelo assume que os retornos são independentes e identicamente distribuídos, podemos usar a regra de raiz quadrada do tempo para converter uma previsão de dia em uma previsão de matriz de covariância de h-dia, simplesmente multiplicando cada elemento da matriz de dia por h. Da mesma forma, uma previsão mensal pode ser obtida para a previsão semanal multiplicando cada elemento por, e assim por diante. Tendo obtido uma previsão de variância, volatilidade, covariância e correlação, devemos perguntar: quão precisa é esta previsão Para isso poderíamos fornecer um intervalo de confiança, ou seja, um intervalo dentro do qual estamos bastante certos de que o verdadeiro parâmetro irá mentir, ou Um erro padrão para a nossa estimativa de parâmetro. O erro padrão fornece uma medida de precisão da estimativa e pode ser usado para testar se o parâmetro verdadeiro pode ter um certo valor ou se situar em uma determinada faixa. A próxima seção mostra como esses intervalos de confiança e erros padrão podem ser construídos. Intervalos de Confiança para Variância e Volatilidade Um intervalo de confiança para a verdadeira variância sigma quando é estimado por uma média igualmente ponderada pode ser derivado usando uma aplicação direta da teoria de amostragem. Supondo que a estimativa da variância é baseada em n retornos normalmente distribuídos com uma média assumida de zero, então T circsigma sigma terá uma distribuição de qui-quadrado com T graus de liberdade veja Freund). A 00 alfa) para T circsigma sigma tomaria a forma chi alfa, t, chi alfa, t) e um cálculo direto dá o intervalo de confiança associado para a variância sigma como:) T circsigma T circsigma, CC Por exemplo, um intervalo de confiança para uma previsão de variância igualmente ponderada baseada em 0 observações é obtido usando os valores críticos chi-quadrado superior e inferior: chi 0, 0. E chi 0,0,0. Assim, o intervalo de confiança é 0. circsigma. Circsigma) e valores exatos são obtidos substituindo no valor da estimativa de variância. Figura CC. Ilustra os limites superior e inferior para um intervalo de confiança para uma previsão de variância quando a estimativa da variância igualmente ponderada é um. Vemos que à medida que o tamanho da amostra T aumenta, a largura do intervalo de confiança diminui, de forma acentuada, de modo que T aumente a partir de valores baixos. Podemos agora recorrer aos intervalos de confiança que se aplicariam a uma estimativa da volatilidade. Lembre-se que a volatilidade, sendo a raiz quadrada da variância, é simplesmente uma transformação decrescente monotônica da variância. Os percentis são invariantes sob qualquer transformação crescente estritamente monotônica. Isto é, se f é qualquer função de aumento monotônico de uma variável aleatória X então: Pc l lt X lt c u) P f c l) lt f X) lt f c u)) Figura CC. 00 CC.) 00 Intervalo de Confiança para Previsões de Variância 5 JWPR0-Fabozzi c-cc Novembro, 00. POR FAVOR FORNECER O TÍTULO DA PEÇA Propriedade CC.) Fornece um intervalo de confiança para uma volatilidade histórica com base no intervalo de confiança CC. Uma vez que x é uma função crescente monotônica de x, toma-se simplesmente a raiz quadrada dos limites inferior e superior para a variância igualmente ponderada. Por exemplo, se um intervalo de confiança para a variância é, então a para a volatilidade associada é,. E, uma vez que x também é monotônico aumentando para x gt 0, o inverso também se aplica. Isso se um intervalo de confiança para a volatilidade é, então a para a variância associada é,. Erros padrões para estimadores médios ponderados Um estimador de qualquer parâmetro tem uma distribuição e uma estimativa pontual de volatilidade é apenas a expectativa da distribuição do estimador de volatilidade. A função de distribuição do estimador de volatilidade média igualmente ponderada não é apenas a raiz quadrada da função de distribuição da estimativa de variância correspondente. Em vez disso, pode ser derivado da distribuição do estimador de variância através de uma simples transformação. Como a volatilidade é a raiz quadrada da variância, a função de densidade do estimador de volatilidade é gcircsigma) circsigma hcircsigma) para circsigma gt0 CC.) Onde h circsigma) é a função de densidade do estimador de variância. Isto segue do fato que se y é uma função monotônica e diferenciável de x então suas densidades de probabilidade g.) E h.) Estão relacionadas como gy) dxdy hx) seefreund. Note que quando y x, dxdy y e assim gy) y hx). Além da estimativa pontual ou expectativa, pode-se também estimar o desvio padrão da distribuição do estimador. Isso é chamado de erro padrão da estimativa. O erro padrão determina a largura de um intervalo de confiança para uma previsão e indica quão confiável é considerada uma previsão. Quanto maior o intervalo de confiança, mais incerteza existe na previsão. Os erros padrão para estimativas de variância médias igualmente ponderadas são baseados em uma suposição de normalidade para os retornos. Modelos de média móvel assumem que os retornos são independentes e distribuídos de forma idêntica. Agora assumindo a normalidade também, de modo que os retornos sejam normalmente e independentemente distribuídos, denotados por NID0, sigma), aplicamos o operador de variância a CC.). Note que se X i são variáveis ​​aleatórias independentes i. T) então f X i) também são independentes para qualquer função diferenciável monotônica f. Portanto, os retornos ao quadrado são independentes, e temos: V t) T i V rt i) T CC.0) Desde VX) EX) EX) para qualquer variável aleatória X, Vrt) Er t) Er t). Por meio da assunção média zero Ert) sigma e assumindo a normalidade, Ert) sigma. hence para cada t: V rt) sigma sigma sigma e substituindo isto em CC.0) dá V circsigma t) sigma CC.) T Portanto, o erro padrão De uma estimativa da variância média igualmente ponderada baseada em T zero média de retornos quadrados é sigma T ou simplesmente, quando expressa como uma porcentagem da variância. Por exemplo, o erro padrão T da estimativa de variância é 0 quando as observações são usadas na estimativa e 0 quando 00 observações são usadas na estimativa. E para o erro padrão do estimador de volatilidade Para derivar isto, nós primeiro provamos que para qualquer função continuamente diferenciável f e variável aleatória X: V f X)) f EX))) VX CC) Para mostrar isto, tomamos um segundo Ordem Taylor expansão de f cerca da média de X e, em seguida, ter expectativas. Veja Alexander 00), Capítulo. (F)) f EX)) f EX))))))))) Novamente ignorando termos de ordem superior. O resultado CC) segue em notar que: V f X)) E f X)) E f X)) Podemos agora usar CC) e CC) para derivar o erro padrão de uma estimativa de volatilidade histórica. A partir de CC) temos V circsigma) circsigma) V circsigma) e assim: V circsigma)) circsigma)) circsigma Agora usando CC.) Em CC) obtemos a variância do estimador de volatilidade como: V circsigma) Sigma) sigma CC). Portanto, o erro padrão do estimador de volatilidade como uma porcentagem de volatilidade é T). Esse resultado nos informa que o erro padrão do estimador de volatilidade como uma porcentagem da volatilidade) é aproximadamente a metade do tamanho do erro padrão da variância como uma porcentagem da variância). Assim, como uma porcentagem da volatilidade, o erro padrão do estimador histórico de volatilidade é aproximadamente 0 quando as observações são usadas na estimativa e quando 00 observações são usadas na estimativa. Os erros-padrão em estimativas de volatilidade média móvel igualmente ponderadas tornam-se muito grandes quando apenas algumas observações são utilizadas. As variáveis ​​de média móvel para a volatilidade e correlação e as matrizes de covariância são utilizadas. Esta é uma razão pela qual é aconselhável usar um longo período de média em estimativas de volatilidade histórica. É mais difícil derivar o erro padrão de uma estimativa de correlação média igualmente ponderada. Contudo, pode-se demonstrar que V circ ij) T CC) e assim temos a seguinte distribuição t para a estimativa de correlação dividida pelo seu erro padrão: circ ij T cir ij t T CC.) Em particular, a significância de Uma estimativa de correlação depende do número de observações que são utilizadas na amostra. Para ilustrar o teste para a significância da correlação histórica, suponha que uma estimativa de correlação histórica de 0. é obtida usando observações. Isto é significativamente maior do que zero? A hipótese nula é H 0. 0, a hipótese alternativa é H. gt0 ea estatística de teste é CC.). Calculando o valor desta estatística dados nossos dados dá t. . Mesmo 0 0 valor crítico superior da distribuição t com graus de liberdade é maior do que este valor é de fato.). Assim, não podemos rejeitar a hipótese nula: 0 não é significativamente maior do que zero quando estimado a partir de observações. No entanto, se o mesmo valor de 0. tivesse sido obtido a partir de uma amostra com, digamos, 00 observações nosso valor-t teria sido 0, o que é significativamente positivo na. Nível porque o superior. Valor crítico da distribuição t com graus de liberdade é. Matrizes de covariância de média móvel igualmente ponderadas Uma média móvel igualmente ponderada é calculada em uma janela de dados de tamanho fixo que é rolada através do tempo, cada dia adicionando o novo retorno e retirando o retorno mais antigo. O comprimento desta janela de dados, também chamado de período de retorno ou período de média, é o intervalo de tempo sobre o qual calculamos a média dos retornos quadrados para a variância) ou a média dos produtos cruzados dos retornos para a covariância. No passado, várias grandes instituições financeiras perderam muito dinheiro porque usaram o modelo de média móvel igualmente ponderado de forma inadequada. Eu não ficaria surpreso se muito mais dinheiro foi perdido por causa do uso inexperiente deste modelo no futuro. O problema não é o próprio modelo afinal, é uma fórmula estatística perfeitamente respeitável para um estimador imparcial que os problemas surgem da sua aplicação inapropriada dentro de um contexto de séries temporais. Um argumento falacioso é o seguinte: as previsões de longo prazo não devem ser afetadas por fenômenos de curto prazo, como o agrupamento de volatilidade, por isso será apropriado tomar a média em um período histórico muito longo. Mas as previsões de curto prazo devem refletir o mercado atual. Jan-00 Jul-00 Jan-0 Figura CC. Jul-0 SP0 MIB0 Jan-0 Jul-0 Jan-0 Jul-0 Jan-0 Jul-0 Jan-0 Jul-0 MIB 0 e SampP 00 Diariamente Janelas fechadas, o que significa que apenas os retornos passados ​​imediatos devem ser usados . Algumas pessoas usam um período de média histórica de T dias, a fim de prever D em frente os outros usam mais leves períodos históricos mais longos do que o período de previsão. Por exemplo, para uma previsão de 0 dias, alguns praticantes podem olhar para trás 0 dias ou mais. Mas essa abordagem, aparentemente sensata, induz um grande problema. Se um ou mais retornos extremos estiverem incluídos no período de média, a volatilidade ou correlação) pode pular de repente para um nível completamente diferente em um dia em que absolutamente nada aconteceu nos mercados. E antes de saltar misteriosamente para baixo, uma previsão histórica será muito maior do que deveria ser. Figura CC. Ilustra os preços de fechamento diários do índice de ações do MIB 0 italiano entre o início de janeiro de 000 eo final de abril de 00 e os compara com os preços de índice SampP 00 durante o mesmo período. Os preços foram baixados do Yahoo Finance. Vamos mostrar como calcular as volatilidades históricas de 0 dias, 0 dias e 0 dias desses dois índices de ações e compará-los graficamente. Foram construídas três estimativas de volatilidade média móvel igualmente ponderadas para o Índice MIB 0, com T 0 dias, 0 dias e 0 dias, respectivamente. O resultado é mostrado na Figura CC. Vamos nos concentrar primeiro na primeira parte do período de dados e no período pós-setembro, 00), ataque terrorista em particular. O índice italiano reagiu à notícia muito mais do que a maioria dos outros índices. A estimativa de volatilidade com base em 0 dias de dados saltou de praticamente em um dia e, em seguida, continuou a subir mais, até. Então, de repente, exatamente 0 dias após o evento, volatilidade de 0 dias saltou para baixo novamente para 0. Mas nada de particular aconteceu nos mercados italianos naquele dia. A queda drástica na volatilidade foi apenas um fantasma do ataque terrorista: Não foi reflexo em todas as condições reais do mercado na época. Características semelhantes são aparentes nas séries de 0 dias e 0 dias de volatilidade. Cada série nos salta imediatamente após o evento, e então, 0 ou 0 dias depois, saltamos novamente. Em novembro de 00, os três diferentes períodos de retro-observação deram estimativas de volatilidade de 0,, e, mas todos eles são baseados no mesmo número de horas de trabalho. 1 JWPR0-Fabozzi c-cc novembro de 00. PLEASE SUPPLY PART TITLE 0 0 0 0 0 0 Feira Volatilidade 0-day Volatilidade 0-day Volatilidade May-00 Set-00 Jan-0 Mai-0 Set-0 Jan-0 Mai-0 Set-0 Jan-0 Mai-0 Set-0 Jan-0 Maio-0 Set-0 Jan-0 Maio-0 Set-0 Jan-0 Figura CC. Volatilidade média ponderada média volatilidade Estimativas do MIB 0 Dados subjacentes ao índice e o mesmo pressuposto independente e identicamente distribuído para os retornos Outras características fantasmas são evidentes no final do período, por exemplo, em março de 00 e março de 00. Mais tarde no período , A escolha do período de look-back não faz tanta diferença: As três estimativas de volatilidade são todas em torno do nível 0. Estudo de Caso: Medindo a Volatilidade ea Correlação de Tesouraria dos EUA A matriz de covariância de taxa de juros é um determinante importante do VaR de valor em risco de um fluxo de caixa. Nesta seção, mostramos como estimar as volatilidades e correlações de taxas de juros de vencimento zero de vencimento diferentes nos Estados Unidos usando o método da média móvel ponderada igual. Considere dados diários sobre as taxas de Tesouraria dos EUA de vencimento constante entre janeiro e março de 00. As taxas estão representadas na Figura CC. É evidente que as taxas seguiram marcadas tendências ao longo do período. A partir de uma altura de cerca de, até ao final do ano, Taxas de Tesouraria dos EUA Fonte: data. htm. Mesmo as taxas de curto prazo estavam abaixo. Além disso, os períodos em que a estrutura a termo das taxas de juros são relativamente estáveis ​​são intercalados com períodos em que a estrutura a termo é inclinada para cima, às vezes com taxas de longo prazo sendo várias por cento mais altas do que as taxas de curto prazo. Durante os regimes de curva de rendimento em declive ascendente, especialmente o último de 000 a 00, as taxas de juro de médio a longo prazo são mais voláteis do que as taxas de curto prazo, em termos absolutos. No entanto, não é claro quais são as taxas mais voláteis em termos relativos, uma vez que as taxas curtas são muito inferiores às taxas de médio a longo prazo. There arethreedecisionsthatmustbemade: Decision. How long an historical data period should be used Decision. Which frequency of observations should be used Decision. Should the volatilities and correlations be measured directly on absolute changes in interest rates, or should they be measured on relative changes and then the result converted into absolute terms Decision. How Long a Historical Data Period Should Be Used The equally weighted historical method gives an average volatility, or correlation, over the sample period chosen. The longer the data period, the less relevant that average may be today i. e. at the end of the sample). Looking at Figure CC. it may be thought that data from 000 onward, and possibly also data during the first half of the 0s, are relevant today. However, we may not wish to include data from the latter half of the 0s, when the yield curve was flat. Decision. Which Frequency of Observations Should Be Used This is an important decision, which depends on the end use of the covariance matrix. We can always use the square root of time rule to convert the holding period of a covariance matrix. For instance, a 0-day covariance matrix can be converted into a - day matrix by dividing each element by 0 and it can be converted into an annual covariance matrix by multiplying each element by. However, this conversion is based on the assumption that variations in interest rates are independent and identically distributed. Moreover, the data becomes more noisy when we use high-frequency data. For instance, daily variations may not be relevant if we only ever want to measure covariances over a 0-day period. The extra variation in the daily data is not useful, and the crudeness of the square root of time rule will introduce an error. To avoid the use of crude assumptionsitisbesttouseadatafrequencythatcorresponds to the holding period of the covariance matrix. However, the two decisions above are linked. For instance, if data are quarterly, we need a data period of five or more years otherwise, the standard error of the estimates will be very large. But then our quarterly covariance matrix represents an average over many years that may not be thought of as relevant today. If data are daily, then 8 JWPR0-Fabozzi c-cc November, 00. Moving Average Models for Volatility and Correlation, and Covariance Matrices 0 0 Au: Can head be shortened just one year of data provides plenty of observations to measure the historical model volatilities and correlations accurately. Also, a history of one year is a better representation of today s markets than a history of five or more years. However, if it is a quarterly covariance matrix that we seek, we have to apply the square root of time rule to the daily matrix. Moreover, the daily variations that are captured by the matrix may not be relevant information at the quarterly frequency. In summary, there may be a trade-off between using data at the relevant frequency and using data that are relevant today. It should be noted that such a trade-off between Decisions and above applies to the measurement of risk in all asset classes and not only to interest rates. In interest rates, there is another decision to make before we can measure risk. Since the price value of a basis point PV0) sensitivity vector is usually measured in basis points, an interest rate covariance matrix is also usually expressed in basis points. Hence, we have Decision. Decision. Should the Volatilities and Correlations Be Measured Directly on Absolute Changes in Interest Rates, or Should They Be Measured on Relative Changes and Then the Result Converted into Absolute Terms If rates have been trending over the data period the two approaches are likely to give very different results. One has to make a decision about whether relative changes or absolute changes are the more stable. In these data, for example, an absolute change of basis points in was relatively small, but in 00 it would have represented a very large change. Hence, to estimate an average daily covariance matrix over the entire data sample, it may be more reasonable to suppose that the volatilities and correlations should be measured on relative changes and then converted to absolute terms. Note, however, that a daily matrix based on the entire sample would capture a very long-term average of volatilities and correlations between daily U. S. Treasury rates, indeed it is a - year average that includes several periods of different regimes in interest rates. Such a long-term average, which is useful for long-term forecasts may be better based on lower frequency data e. g. monthly). For a - day forecast horizon. we shall use only the data since January, 000. To make the choice for Decision, we take both the relative daily changes the difference in the log rates) and the absolute daily changes the differences in the rates, in basis-point terms). Then we obtain the standard deviation, correlation, and covariance in each case, and in the case of relative changes we translate the results into absolute terms. We now compare results based on relative changes with result based on absolute changes. The correlation matrix estimates based on the period January, 000, to March, 00, are shown in Table CC. The matrices are similar. Both matrices display the usual characteristics of an interest rate term structure: Correlations are higher at the long end than the short end, and they decrease as the difference between the two maturities increases. Table CC. Correlation of U. S. Treasuries a) Based on Relative Changes m m y y y y y0 m.00 m y y y y y b) Based on Absolute Changes m m y y y y y0 m.00 m y y y y y Table CC. compares the volatilities of the interest rates obtained using the two methods. The figures in the last row of each table represent an average absolute volatility for each rate over period January, 000 to March, 00. Basing this first on relative changes in interest rates, Table CC. a) gives the standard deviation of relative returns volatility in the first row. The long-term rates have the lowest standard deviations, and the medium-term rates have the highest standard deviations. These standard deviations are then annualized by multiplying by, Au: assuming each rate is independent and identically distributed) and multiplied by the level of the interest rate on March, 00. There was a very marked upward sloping yield curve on March, 00. Hence the long-term rates are more volatile than the short-term rates: for instance the - month rate has an absolute volatility of about basis points, but the absolute volatility of the 0-year rates is about basis points. Table CC. b) measures the standard deviation of absolute changes in interest rates over the period January, 000 to March, 00, and then converts this into volatility by multiplying by. We again find that the long - Au: term rates are more volatile than the short-term rates for instance, the six-month rate has an absolute volatility of about basis points, but the absolute volatility of the five-year rates is about 0 bps. It should be noted that it is quite unusual for long-term rates to be more volatile than short-term rates. But from 000 to 00 the U. S. Fed was exerting a lot of control on short-term rates, to bring down the general level of interest rates. However the market expected interest rates to rise, because the yield curve was upwards sloping during most of the period.) We find that correlations were similar, whether based on relative or absolute changes. But Table CC. shows there is a substantial difference between the volatilities obtained using the two methods. When volatilities are based directly on the absolute changes, they are slightly lower at the short end and substantially lower for the medium-term rates. symbol ok symbol ok 9 JWPR0-Fabozzi c-cc November, 00. PLEASE SUPPLY PART TITLE Table CC. Volatility of U. S. Treasuries a) Based on Relative Changes m m y y y y y0 Standard deviation Yield Curve on March, Absolute volatility in basis points) b) Based on Absolute Changes m m y y y y y0 Standard deviation Absolute volatility in basis points) Finally, we obtain the annual covariance matrix of absolute changes in basis point terms) by multiplying the correlation matrix by the appropriate absolute volatilities and to obtain the one-day covariance matrix we divide by. The results are shown in Table CC. Depending on whether we base estimates of volatility and correlation on relative or absolute changes in interest rates, the covariance matrix can be very different. In this case, it is short-term and medium-term volatility estimates that are the most affected by the choice. Given that we have used the equally weighted average methodology to construct the covariance matrix, the underlying assumption is that volatilities and correlations are constant. Hence, the choice between relative or absolute changes depends on which are the more stable. In countries with very high interest rates, or when interest rates have been trending during the sample period, relative changes tend to be more stable than absolute changes. In summary, there are four crucial decisions to be made when estimating a covariance matrix for interest rates. Which statistical model should we employ. Which historical data period should be used Table CC. One-Day Covariance Matrix of U. S. Treasuries, in Basis Points a) Based on Relative Changes m m y y y y y0 m.0 m. y. 0 y y. y y b) Based on Absolute Changes m m y y y y y0 m 0.0 m. y..0. y..0. y. y y Should the data frequency be daily, weekly, monthly or quarterly. Should we base the matrix on relative or absolute changes in interest rates The first three decisions must also be made when estimating covariance matrices in other asset classes such as equities, commodities, and foreign-exchange rates. There is a huge amount of model risk involved with the construction of covariance matrices very different results may be obtained depending on the choice made. Pitfalls of the Equally Weighted Moving Average Method The problems encountered when applying this model stem not from the small jumps that are often encountered in financial asset prices, but from the large jumps that are only rarely encountered. When a long averaging period is used, the importance of a single extreme event is averaged out within a large sample of returns. Hence, a moving average volatility estimate may not respond enough to a short, sharp shock in the market. This effect is clearly visible in 00, where only the 0-day volatility rose significantly over a matter of a few weeks. The longer-term volatilities did rise, but it took several months for them to respond to the market falls in the MIB during mid-00. At this point in time there was actually a cluster of volatility, which often happens in financial markets. The effect of the cluster was to make the longer-term volatilities rise, eventually, but then they took too long to return to normal levels. It was not until markets returned to normal in late 00 that the three volatility series in Figure CC. are in line with each other. When there is an extreme event in the market, even just one very large return will influence the T-day moving average estimate for exactly T days until that very large squared return falls out of the data window. Hence volatility will jump up, for exactly T days, and the fall dramatically on day T , even though nothing happened in the market on that day. This type of ghost feature is simply an artefact of the use of equal weighting. The problem is that extreme events are just as important to current estimates, whether they occurred yesterday or a very long time ago. A single large, squared return remains just as important T days ago as it was yesterday. It will affect the T-day volatility or correlation estimate for exactly 10 JWPR0-Fabozzi c-cc November, 00. 0 Moving Average Models for Volatility and Correlation, and Covariance Matrices 0 Au: symbol ok T days after that return was experienced, and to exactly the same extent. However, with other models we would find that volatility or correlation had long ago returned to normal levels. Exactly T days after the extreme event, the equally weighted moving average volatility estimate mysteriously drops back down to about the correct level that is, provided that we have not had another extreme return in the interim Note that the smaller is T, the number of data points used in the data window, the more variable the historical volatility series will be. When any estimates are based on a small sample size they will not be very precise. The larger the sample size the more accurate the estimate, because sampling errors are proportional to T. For this reason alone a short moving average will be more variable than a long moving average. Hence, a 0-day historic volatility or correlation) will always be more variable than a 0-day historic volatility or correlation) that is based on the same daily return data. Of course, if one really believes in the assumption of constant volatility that underlies this method, one should always use as long a history as possible, so that sampling errors are reduced. It is important to realize that whatever the length of the historical averaging period and whenever the estimate is made, the equally weighted method is always estimating the same parameter: the unconditional volatility or correlation) of the returns. But this is a constant it does not change over the process. Thus, the variation in T-day historic estimates can only be attributed to sampling error: there is nothing else in the model to explain this variation. It is not a time-varying volatility model, even though some users try to force it into that framework. The problem with the equally weighted moving average model is that it tries to make an estimate of a constant volatility into a forecast of a time-varying volatility. Similarly, it tries to make an estimate of a constant correlation into a forecast of a time-varying correlation. No wonder financial firms have lost of lot of money with this model It is really only suitable for long-term forecasts of average volatility, or correlation, for instance over a period of between six months to several years. In this case, the lookback period should be long enough to include a variety of price jumps, with a relative frequency that represents the modeler expectations of the probability of future price jumps of that magnitude during the forecast horizon. Using Equally Weighted Moving Averages To forecast a long-term average for volatility using the equally weighted model, it is standard to use a large sample size T in the variance estimate. The confidence intervals for historical volatility estimators given earlier in this chapter provide a useful indication of the accuracy of these long-term volatility forecasts and the approximate standard errors that we have derived earlier in this chapter give an indication of variability in long-term volatility. Here, we saw that the variability in estimates decreased as the sample size increased. Hence, long-term volatility that is forecast from this model may prove useful. When pricing options, it is the long-term volatility that is most difficult to forecast. Options trading often focuses on short-maturity options and long-term options are much less liquid. Hence, it is not easy to forecast a long-term implied volatility. Long-term volatility holds the greatest uncertainty, yet it is the most important determinant of long-term option prices. We conclude this section with an interesting conundrum, considering two hypothetical historical volatility modellers, whom we shall call Tom and Dick, both forecasting volatility over a - month risk horizon based on equally weighted average of squared returns over the past months of daily data. Imagine that is it January 00 and that on October, 00 the market crashed, returning in the space of a few days. So some very large jumps occurred during the current data window, albeit three months ago. Tom includes these extremely large returns in his data window, so his ex-post average of squared returns, which is also his volatility forecast in this model, will be very high. Because of this, Tom has an implicit belief that another jump of equal magnitude will occur during the forecast horizon. This implicit belief will continue until one year after the crash, when those large negative returns fall out of his moving data window. Consider Tom s position in October 00. Up to the middle of October he includes the crash period in his forecast but after that the crash period drops out of the data window and his forecast of volatility in the future suddenly decreases as if he suddenly decided that another crash was very unlikely. That is, he drastically changes his belief about the possibility of an extreme return. So, to be consistent with his previous beliefs, should Tom now bootstrap the extreme returns experienced during October 00 back into his data set And what about Dick, who in January 00 does not believe that another market crash could occur in his - month forecast horizon So, in January 00, he should somehow filter out those extreme returns from his data. Of course, it is dangerous to embrace the possibility of bootstrapping in and filtering out extreme returns in data in an ad hoc way, before it is used in the model. However, if one does not do this, the historical model can imply a very strange behavior of the beliefs of the modeler. In the Bayesian framework of uncertain volatility the equally weighted model has an important role to play. Equally weighted moving averages can be used to set the bounds for long-term volatility that is, we can use the model to find a range sigma min, sigma max for the long-term average volatility forecast. The lower bound sigma min can be estimated using a long period of historical data with all the very extreme returns removed and the upper bound sigma max can be estimated using the historical data where the very extreme returns are retained and even adding some A modeler s beliefs about long-term volatility can be formalized by a probability distribution over the range sigma min, sigma max . This distribution would then be carried through for the rest of the analysis. For instance, upper and lower price bounds might be obtained for long-term exposures with option like structures, such as warrants on a firm s equity or convertibles bonds. This type of Bayesian method, which provides a price distribution rather than a single price, will be increasingly used in market risk management in the future. 11 JWPR0-Fabozzi c-cc November, 00. PLEASE SUPPLY PART TITLE EXPONENTIALLY WEIGHTED MOVING AVERAGES An exponentially weighted moving average EWMA) avoids the pitfalls explained in the previous section because it puts more weight on the more recent observations. Thus as extreme returns move further into the past as the data window slides along, they become less important in the average. Statistical Methodology An exponentially weighted moving average can be defined on any time series of data. Say that on date t we have recorded data up to time t, so we have observations x t. x ). The exponentially weighted average of these observations is defined as: EWMAx t. x ) x t lambdax t lambda x t . lambda t x lambda lambda . lambda t where lambda is a constant, 0 ltlambdalt, called the smoothing or the decay constant. Since lambda T 0asT the exponentially weighted average places negligible weight on observations far in the past. And since lambda lambda . lambda) we have, for large t, EWMAx t. x ) x t lambdax t lambda x t lambda lambda . lambda) i lambda x t i This is the formula that is used to calculate exponentially weight moving average EWMA) estimates of variance with x being the squared return) and covariance with x being the cross product of the two returns). As with equally weighted moving averages, it is standard to use squared daily returns and cross products of daily returns, not in mean deviation form. That is: and circsigma t lambda) circsigma, t lambda) lambda i rt i i lambda i r, t i r, t i i CC.) CC.0) The above formulae may be rewritten in the form of recursions, more easily used in calculations: circsigma t lambda) rt lambda circsigma t CC.) and circsigma, t lambda) r, t r, t lambda circsigma, t CC.) An alternative notation used for the above is V lambda r t ), for circsigma t and COV lambda r, t, r, t ) for circsigma, t when we want to make explicit the dependence on the smoothing constant. One converts the variance to volatility by taking the annualized square root, the annualizing constant being determined by the data frequency as usual. Note that for the EWMA correlation the covariance is divided by the square root of the product of the two EWMA variance estimates, all with the same value of lambda. Similarly for the EWMA beta the covariance between the stock or portfolio) returns and the market returns is divided by the EWMA estimate for the market variance, both with the same value of lambda. That is: circ t, lambda COV lambdar, t, r, t ) CC.) Vlambda r, t )V lambda r, t ) and circbeta t, lambda COV lambdax t, Y t ) V lambda X t ) Interpretation of lambda CC.) There are two terms on the right hand side of CC.). The first term lambda) rt determines the intensity of reaction of volatility to market events: the smaller is lambda the more the volatility reacts to the market information in yesterday s return. The second term lambda circsigma t determines the persistence in volatility: Irrespective of what happens in the market, if volatility was high yesterday it will be still be high today. The closer that lambda is to, the more persistent is volatility following a market shock. Thus, a high lambda gives little reaction to actual market events but great persistence in volatility, and a low lambda gives highly reactive volatilities that quickly die away. An unfortunate restriction of exponentially weighted moving average models is that the reaction and persistence parameters are not independent: the strength of reaction to market events is determined by lambda, whilst the persistence of shocks is determinedby lambda. But this assumption is not empirically justified except perhaps in a few markets e. g. major U. S. dollar exchange rates). The effect of using a different value of lambda in EWMA volatility forecasts can be quite substantial. Figure CC. compares two EWMA volatility estimatesforecasts of the SampP 00 index, with lambda 0.0 and lambda 0. It is not 0 0 0 0 0 0 EWMA 0.0) Volatility EWMA 0.) Volatility May-00 Sep-00 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 Figure CC. Different lambdas EWMA Volatility Estimates for SP00 with 12 JWPR0-Fabozzi c-cc November, 00. Moving Average Models for Volatility and Correlation, and Covariance Matrices unusual for these two EWMA estimates to differ by as much as 0. So which is the best value to use for the smoothing constant How should we choose lambda This is not an easy question. By contrast, in generalized autoregressive conditional heteroskedascity GARCH) models there is no question of how we should estimate parameters, because maximum likelihood estimation is an optimal method that always gives consistent estimators.) Statistical methods may considered: For example, lambda could be chosen to minimize the root mean square error between the EWMA estimate of variance and the squared return. But, in practice, lambda is often chosen subjectively because the same value of lambda has to be used for all elements in a EWMA covariance matrix. As a rule of thumb, we might take values of lambda between about 0. volatility is highly reactive but has little persistence) and 0. volatility is very persistent but not highly reactive) 0 0 0 0 0 0 Properties of the Estimates A EWMA volatility estimate will react immediately following an unusually large return then the effect of this return on the EWMA volatility estimate gradually diminishes over time. The reaction of EWMA volatility estimates to market events therefore persists over time, and with a strength that is determined by the smoothing constant lambda. The larger the value of lambda, the more weight is placed on observations in the past and so the smoother the series becomes. Figure CC. compares the EWMA volatility of the MIB index with lambda 0. and the 0-day equally weighted volatility estimate. The difference between the two estimators is marked following an extreme market return. The EWMA estimate gives a higher volatility than the equally weighted estimate, but it returns to normal levels faster than the equally weighted estimated because it does not suffer from the ghost features discussed above. One of the disadvantages of using EWMA to estimate and forecast covariance matrices is that the same value of EWMA 0.) Volatility 0-day Volatility May-00 Sep-00 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 May-0 Sep-0 Jan-0 Figure CC. EWMA versus Equally Weighted Volatility lambda is used for all the variances and covariances in the matrix. For instance, in a large matrix covering several asset classes, the same lambda applies to all equity indices, foreign exchange rates, interest rates, andor commodities in the matrix. But why should all these risk factors have similar reaction and persistence to shocks This constraint is commonly applied merely because it guarantees that the matrix will be positive semidefinite. The EWMA Forecasting Model The exponentially weighted average variance estimate CC.), or in its equivalent form CC.) is just a methodology for calculating circsigma t. thatis, itgivesavarianceesti - mate at any point in time but there is no model as such, that explains the behaviour of the variance of returns, sigmat at each time t. In this sense, we have to distinguish EWMA from a GARCH model, which starts with a proper specification of the dynamics of sigmat and then proceeds to estimate the parameters of this model. Without a proper model, it is not clear how we should turn our current estimate of variance into a forecast of variance over some future horizon. One possibility is to augment CC.) by assuming it is the estimate associated with the model sigmat lambda) rt lambdasigma t r t I t N 0,sigmat ) CC.) An alternative is to assume a constant volatility, so the fact that our estimates are time varying is merely due to sampling error. In that case any EWMA variance forecast must be constant and equal to the current EWMA estimate. Similar remarks apply to the EWMA covariance, this time regarding EWMA as a simplistic version of bivariate normal GARCH. Similarly, the EWMA volatility or correlation) forecast for all risk horizons is simply set at the current EWMA estimate of volatility or correlation). The base horizon for the forecast is given by the frequency of the data daily returns will give the one-day covariance matrix forecast, weekly returns will give the one-week covariance matrix forecast, and so forth. Then, since the returns are independent and identically distributed, the square root of time rule applies. So we can convert a oneday forecast into an h-day covariance matrix forecast by multiplying each element of the one-day EWMA covariance matrix by h. Since the choice of lambda itself quite ad hoc, as discussed above, some users choose different values of lambda for forecasting over different horizons. For instance, as discussed later in this chapter, in the RiskMetrics TM methodolgy a relative low value of lambda is used for short-term forecasts and a higher value of lambda is used for long-term forecasts. However, this is purely an ad hoc rule. Standard Errors for EWMA Forecasts In the previous section, we justified the assumption that the underlying returns are normally and independently distributed with mean zero and variance sigma. That is, for 13 JWPR0-Fabozzi c-cc November, 00. PLEASE SUPPLY PART TITLE Now we can apply the variance operator to and calculate the variance of the EWMA variance estimator as: V circsigma t ) lambda) lambda ) V rt ) lambda lambda sigma CC.) For instance, as a percentage of the variance, the standard error of the EWMA variance estimator is about when lambda 0. 0. when lambda 0. and. when lambda 0. A single point forecast of volatility can be very misleading. A forecast is always a distribution. It represents our uncertainty over the quantity that is being forecast. The standard error of a volatility forecast is useful because it can be translated into a standard error for a VaR estimate, for instance, or an option price. In any VaR model one should be aware of the uncertainty that is introduced by possible errors in the forecast of the covariance matrix. Similarly, in any mark-to-model value of an option, one should be aware of the uncertainty that is introduced by possible errors in the volatility forecast. Au: Pls. 0 complete this sentence all t E r t ) 0 and V rt ) E r t ) sigma In this section, we use this assumption to obtain standard errors for EWMA forecasts. From the above, and further from the normality assumption, we have: V rt ) ) ) E r t E r t sigma sigma sigma The RiskMetrics TM Methodology Three very large covariance matrices, each based on a different moving average methodology, are available from These matrices cover all types of assets including government bonds, money markets, swaps, foreign exchange, and equity indices for currencies and commodities. Subscribers have access to all of these matrices updated on a daily basis and end-of-year matrices are also available to subscribers wishing to use them in scenario analysis. After a few days, the datasets are also made available free for educational use. The RiskMetrics TM group is the market leader in market and credit risk data and modeling for banks, corporates asset managers, and financial intermediaries. It is highly recommended that readers visit the web site where they will find a surprising large amount of information in the form of free publications and data. See the References at the end of this chapter for details. The three covariance matrices provided by the RiskMetrics group are each based on a history of daily returns in all the asset classes mentioned above. Eles são. Regulatory matrix: This takes it name from the unfortunate) requirement that banks must use at least days of historical data for VaR estimation. Hence this metric is an equally weighted average matrix with n . The volatilities and correlations constructed from this matrix represent forecasts of average volatility or correlation) over the next days. 0 0 0 0 0 Jan - Jan - Daily EWMA Volatility Monthly EWMA Volatility Regulatory Volatility Jan - Jan - Jan-00 Jan-0 Jan-0 Jan-0 Jan-0 Jan-0 Jan-0 Figure CC. Comparison of the RiskMetrics Forecasts for FTSE00 Volatility. Daily matrix: This is an EWMA covariance matrix with lambda 0. for all elements. It is not dissimilar to an equally weighted average with n , except that it does not suffer from the ghost features caused by very extreme market events. The volatilities and correlations constructed from this matrix represent forecasts of average volatility or correlation) over the next day. Monthly matrix: This is an EWMA covariance matrix with lambda 0. for all elements and then multiplied by i. e. using the square root of time rule and assuming days per month). The volatilities and correlations constructed from this matrix represent forecasts of average volatility or correlation) over the next days. The main difference between the three different methods is evidenced following major market movements: The regulatory forecast will produce a ghost effect of this event, and does not react as much as the daily or monthly forecasts. The most reactive is the daily forecast, but it also has less persistence than the monthly forecast. Figure CC. compares the estimates for the FTSE 00 volatility based on each of the three RiskMetrics methodologies and using daily data from January. to June, 00. As mentioned earlier in this chapter, these estimates are assumed to be the forecasts over, respectively, one day, one month, and one year. In volatile times, the daily and monthly estimates lie well above the regulatoryforecastandtheconverseistrueinmoretranquil periods. For instance, during most of 00, the regulatory estimate of average volatility over the next year was about 0 higher than both of the shorter-term estimates. However, it was falling dramatically during this period, and indeed the regulatory forecast of more than 0 volatility on average between June 00 and June 00 was entirely wrong. However, at the end of the period, in June 00, the daily forecasts were above 0, and the monthly forecasts were only just below this. However, the regulatory forecast over the next year was only slightly more than 0. During periods when the markets have been tranquil for some time, for instance during the whole of 00, the 14 JWPR0-Fabozzi c-cc November, 00. Moving Average Models for Volatility and Correlation, and Covariance Matrices 0 three forecasts tend to agree more. But during and directly after a volatile period there are large differences between the regulatory forecasts and the two EWMA forecasts, and these differences are very difficult to justify. Neither the equally weighted average nor the EWMA methodology is based on a proper forecasting model. One simply assumes the current estimate is the volatility forecast. But the current estimate is a backward-looking measure based on recent historical data. So both of these moving average models make the assumption that the behavior of future volatility is the same as its past behavior and this is a very simplistic view SUMMARY The equally weighted moving average, or historical approach to estimatingforecasting volatilities and correlations, was the only statistical method used by practitioners until the mid-0s. The historical method may provide a useful indication of the possible range for a long-term average, such as the average volatility or correlation over the next several years. However, its application to shortterm forecasting is very limited, indeed the approach suffers from at least four drawbacks. First, the forecast of volatilitycorrelation over all future horizons is simply taken to be the current estimate of volatility, because the underlying assumption in the model is that returns are independent and identically distributed. Second, the only choice facing the user is on the data points to use in the data window. The forecasts produced depend crucially on this decision, yet there is no statistical procedure to choose the size of data window it is a purely subjective decision. Third, following an extreme market move the forecasts of volatility and correlation will exhibit a so-called ghost feature of that extreme move, which will severely bias the volatility and correlation forecasts upward. Finally, the extent of this bias depends very much on the size of the data window. The bias issue was addressed by J. P. Morgan bank, which launched the RiskMetrics TM data and software suite in the mid-0s. The bank s choice of methodology helped to popularize the use of exponentially weighted moving averages EWMA) by financial analysts. The EWMA approach provides useful forecasts for volatility and correlation over the very short term, such as over the new day or week. However, its use for longer-term 0 forecasting is limited, and this methodology also has two major problems. First, the forecast of volatilitycorrelation over all future horizons is simply taken to be the current estimate of volatility, because the underlying assumption in the model is that returns are independent and identically distributed. Second, the only choice facing the user is aboutthe value ofthe smoothing constant, lambda. The forecasts produced depend crucially on this decision, yet there is no statistical procedure to choose lambda. Often an ad hoc choice is made for example, the same lambda is taken for all series and a higher lambda is chosen for a longer-term forecast. Moving average models assume returns are independent and identically distributed, and the further assumption that they are normally distributed allows one to derive standard errors and confidence intervals for moving average forecasts. But empirical observations suggest that returns to financial assets are hardly ever independent and identically, let alone normally distributed. For these reasons more and more practitioners are basing their forecasts on generalized autoregressive conditional heteroskedasticity GARCH) models. There is no doubt that such models produce superior volatility forecasts. It is only in GARCH models that the term structure volatility forecasts converge to the long run average volatility the other models produce constant volatility term structures. Moreover, the value of the EWMA smoothing constant is chosen subjectively and the same smoothing constant must be used for all the returns, otherwise the covariance matrix need not be positive semi-definite. But GARCH parameters are estimated optimally and GARCH covariance matrices truly reflect the time-varying volatilities and correlations of the multivariate returns distributions. REFERENCES Alexander, C. 00). Market Risk Analysis. Chichester, UK: John Wiley amp Sons. Freund, J. E. ). Mathematical Statistics. Englewood Cliffs: Pearson U. S. Imports amp PHIPEs. RiskMetrics ). RiskMetrics Technical Document, RiskMetrics ). Risk Management A Practical Guide, RiskMetrics 00). Return to RiskMetrics: The Evolution of astandardriskmetricsrrovv. html. Volume 1 by Frank J. Fabozzi Moving Average Models for Volatility and Correlation, and Covariance Matrices CAROL ALEXANDER, PhD Professor of Finance, University of Sussex Abstract: The volatilities and correlations of the returns on a set of assets, risk factors, or interest rates are summarized in a covariance matrix. Essa matriz está no cerne da análise de risco e retorno. Contém todas as informações necessárias para estimar a volatilidade de uma carteira, simular valores correlacionados para seus fatores de risco, diversificar investimentos e obter portfólios eficientes que tenham o trade-off ótimo entre risco e retorno. Both risk managers and asset managers require covariance matrices that may include very many assets or risk factors. For instance, in a global risk management system of a large international bank all the major yield curves, equity indexes, foreign exchange rates, and commodity prices will be encompassed in one very large dimensional covariance matrix. As variâncias e covariâncias são parâmetros da distribuição conjunta dos retornos de ativos (ou fatores de risco). É importante entender que eles são inobserváveis. Eles só podem ser estimados ou previstos dentro do contexto de um modelo. Continuous-time models, used for option pricing, are often based on stochastic processes for the variance and covariance. Os modelos de tempo discreto, usados ​​para medir o risco de carteira, são baseados em modelos de séries temporais de variância e covariância. Em cada caso, só podemos estimar ou prever variação e covariância. Com o Safari, você aprende como aprende melhor. Get unlimited access to videos, live online training, learning paths, books, interactive tutorials, and more. Não é necessário cartão de crédito